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高中數學函式知識點1
1.函式的奇偶性
(1)若f(x)是偶函式,那麼f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函式,0在其定義域內,則f(0)=0(可用於求引數);
(3)判斷函式奇偶性可用定義的等價形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所給函式的解析式較為複雜,應先化簡,再判斷其奇偶性;
(5)奇函式在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函式在對稱的單調區間內有相反的單調性;
2.複合函式
(1)複合函式定義域求法:若已知的定義域為[a,b],其複合函式f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域,相當於x∈[a,b]時,求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函式的問題一定要注意定義域優先的原則。
(2)複合函式的單調性由“同增異減”判定;
3.函式影象(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函式影象的對稱性,即證明影象上任意點關於對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在影象上;
(2)證明影象C1與C2的對稱性,即證明C1上任意點關於對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上,反之亦然;
(3)曲線C1:f(x,y)=0,關於y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關於點(a,b)的對稱曲線C2方程為:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函式y=f(x)對x∈R時,f(a+x)=f(a-x)恆成立,則y=f(x)影象關於直線x=a對稱;
(6)函式y=f(x-a)與y=f(b-x)的影象關於直線x=對稱;
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4.函式的週期性
(1)y=f(x)對x∈R時,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恆成立,則y=f(x)是週期為2a的周期函式;
(2)若y=f(x)是偶函式,其影象又關於直線x=a對稱,則f(x)是週期為2︱a︱的周期函式;
(3)若y=f(x)奇函式,其影象又關於直線x=a對稱,則f(x)是週期為4︱a︱的周期函式;
(4)若y=f(x)關於點(a,0),(b,0)對稱,則f(x)是週期為2的周期函式;
(5)y=f(x)的圖象關於直線x=a,x=b(a≠b)對稱,則函式y=f(x)是週期為2的周期函式;
(6)y=f(x)對x∈R時,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,則y=f(x)是週期為2的周期函式;
5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);
6.a≥f(x)恆成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恆成立a≤[f(x)]min;
7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3)logab的符號由口訣“同正異負”記憶;
(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);
8.判斷對應是否為對映時,抓住兩點:
(1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象,並且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9.能熟練地用定義證明函式的單調性,求反函式,判斷函式的奇偶性。
10.對於反函式,應掌握以下一些結論:
(1)定義域上的單調函式必有反函式;
(2)奇函式的反函式也是奇函式;
(3)定義域為非單元素集的偶函式不存在反函式;
(4)周期函式不存在反函式;
(5)互為反函式的兩個函式具有相同的單調性;
(6)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函式,設f(x)的定義域為A,值域為B,則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);
11.處理二次函式的問題勿忘數形結合;二次函式在閉區間上必有最值,求最值問題用“兩看法”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關係;
12.依據單調性,利用一次函式在區間上的保號性可解決求一類引數的範圍問題;
13.恆成立問題的處理方法:(1)分離引數法;
(2)轉化為一元二次方程的根的分佈列不等式(組)求解。高中數學函式知識點2
奇偶性
注圖:(1)為奇函式(2)為偶函式
1.定義
一般地,對於函式f(x)
(1)如果對於函式定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼函式f(x)就叫做奇函式。
(2)如果對於函式定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼函式f(x)就叫做偶函式。
(3)如果對於函式定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那麼函式f(x)既是奇函式又是偶函式,稱為既奇又偶函式。
(4)如果對於函式定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那麼函式f(x)既不是奇函式又不是偶函式,稱為非奇非偶函式。
說明:①奇、偶性是函式的整體性質,對整個定義域而言
②奇、偶函式的定義域一定關於原點對稱,如果一個函式的定義域不關於原點對稱,則這個函式一定不是奇(或偶)函式。
(分析:判斷函式的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱,然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論)
③判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義
2.奇偶函式影象的特徵:
定理 奇函式的影象關於原點成中心對稱圖表,偶函式的圖象關於y軸或軸對稱圖形。
f(x)為奇函式《==》f(x)的影象關於原點對稱
點(x,y)→(-x,-y)
奇函式在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函式 在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上單調遞減。
3.奇偶函式運算
(1) .兩個偶函式相加所得的和為偶函式.
(2) .兩個奇函式相加所得的和為奇函式.
(3) .一個偶函式與一個奇函式相加所得的和為非奇函式與非偶函式.
(4) .兩個偶函式相乘所得的積為偶函式.
(5) .兩個奇函式相乘所得的積為偶函式.
(6) .一個偶函式與一個奇函式相乘所得的積為奇函式.
定義域
(高中函式定義)設A,B是兩個非空的數集,如果按某個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函式,記作y=f(x),x屬於集合A。其中,x叫作自變數,x的取值範圍A叫作函式的定義域;
值域
名稱定義
函式中,應變數的取值範圍叫做這個函式的值域函式的值域,在數學中是函式在定義域中應變數所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合),
(3)函式單調性法,
(4)配方法,(5)換元法,(6)反函式法(逆求法),(7)判別式法,(8)複合函式法,(9)三角代換法,(10)基本不等式法等
高中數學函式知識點3
對數函式
對數函式的一般形式為 ,它實際上就是指數函式 的反函式。因此指數函式裡對於a的規定,同樣適用於對數函式。
右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形:
可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函式。
(1)對數函式的定義域為大於0的實數集合。
(2)對數函式的值域為全部實數集合。
(3)函式總是通過(1,0)這點。
(4)a大於1時,為單調遞增函式,並且上凸;a小於1大於0時,函式為單調遞減函式,並且下凹。
(5)顯然對數函式無界。
指數函式
指數函式的一般形式為 ,從上面我們對於冪函式的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個實數集合為定義域,則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函式圖形的情況。
可以看到:
(1)指數函式的定義域為所有實數的集合,這裡的前提是a大於0,對於a不大於0的情況,則必然使得函式的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮。
(2) 指數函式的值域為大於0的實數集合。
(3) 函式圖形都是下凹的。
(4) a大於1,則指數函式單調遞增;a小於1大於0,則為單調遞減的。
(5)可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0),函式的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函式的位置,趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6) 函式總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。
(7) 函式總是通過(0,1)這點。
(8) 顯然指數函式無界。