數學分析 篇一
隨着社會、經濟、科技的高速發展，數學的應用越來越廣，地位越來越高，作用越來越大。不僅如此，數學教育的實踐和歷史還表明，數學作為一種文化，對人的全面素質的提高具有巨大的影響。因此，提高基礎教育中的數學教學質量，就顯得尤為重要。可目前由於受“應試教育”的影響，數學教學中違背教育規律的現象和做法時有發生，為此更新數學教學思想、完善數學教學方法就顯得更加迫切。在數學教學中，開展學法指導，正是改革數學教學的一個突破口。
一
對數學教學如何實施數學學習方法的指導，人們進行了許多有益的探索和實驗。首先是通過觀察、調查，歸納總結了中學生數學學習中存在的問題，如“學習懶散，不肯動腦；不訂計劃，慣性運轉；忽視預習，坐等上課；不會聽課，事倍功半；死記硬背，機械模仿；不懂不問，一知半解；不重基礎，好高騖遠；趕做作業，不會自學；不重總結，輕視複習”［1］等等。針對這些問題，提出了相應的數學學法指導的途徑和方法，如數學全程滲透式（將學法指導滲透於制訂計劃、課前預習、課堂學習、課後複習、獨立作業、學結、課外學習等各個學習環節之中）［2］；建立數學學習常規（課堂常規———情境美，參與高，求卓越，求效率；課後常規———認真讀書，整理筆記，深思熟慮，勇於質疑；作業常規———先複習，後作業，字跡清楚，表述規範，計算正確，填好《作業檢測表》，重做錯題）［3］等等。誠然，這對於端正學習態度、養成學習習慣、提高學業成績、優化學習品質，採勸對症下藥”的策略，開展對學習常規的指導，無疑會收到較好的效果。但是，數學學習方法的指導，決不能忽視數學所特有的學習方法的指導。可以説，這才是數學學法指導之內核和要害。也就是説，數學學法指導應該着重指導學生學會理解數學知識、學會解決數學問題、學會數學地思維、學會數學交流、學會用數學解決實際問題等。有鑑於此，筆者主要從“數學”、“數學學習”出發，來闡釋數學學習方法，論述數學學法指導。
二
從數學的角度出發，就是要考察數學的特點。關於數學的特點，雖仍有爭議，但傳統或者説比較科學的提法仍是3條：高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和應用的廣泛性。
1．數學研究的對象本來是現實的，但由於數學僅從空間形式與數量關係方面來反映客觀現實，所以數學是逐級抽象的產物。比如三角形形狀的實物模型隨處可見，多種多樣，名目繁多，但數學中的“三角形”卻是一種抽象的思維形式（概念），撇開了人們常見的各種三角形形狀實物的諸多性質（如天然屬性、物理性質等）。因此，學習數學首當其衝的是要學習抽象。而抽象又離不開概括，也離不開比較和分類，可以説比較、分類、概括是抽象的基礎和前提。比如，要從已經過抽象得出的物體運動速度v＝v0＋at、產品的成本m＝m0＋at、金屬加熱引起的長度變化l＝l0＋at中再次抽象出一次函數f（x）＝ax＋b，顯然要經過比較（它們的異同）和概括（它們的共同特徵）。根據數學高度抽象性的特點，數學學法指導要強調比較、分類、概括、抽象等思維方法的指導。
2．數學結論的可靠性有其嚴格的要求，觀察和實驗不能作為論證的依據和方法，而是要經過邏輯推理（表現為證明或計算），方能得以承認。比如，“三角形內角和為180°”這個結論，通過測量的方法是不能確立的，唯有在歐氏幾何體系中經過數學證明才能肯定其正確性（確定性）。在數學中，只有通過邏輯證明和符合邏輯的計算而得到的結論，才是可靠的。事實上，任何數學研究都離不開證明和計算，證明和計算是極其主要的數學活動，而通常所説的“數學思想方法往往是數學中證明和計算的方法。探求數學問題的解法也就是尋找相應的證明或計算的具體方法。從這一點上來説，證明或計算是任何一種數學思想方法的組成部分，又是任何一種數學思想方法的目標和表述形式”［4］。又由於證明和計算主要依靠的是歸納與演繹、分析與綜合，所以根據數學邏輯的嚴謹性特點，數學學法指導要重視歸納法、演繹法、分析法、綜合法的指導。
3．由於任何客觀對象都有其空間形式和數量關係，因而從理論上説以空間形式與數量關係為研究對象的數學可以應用於客觀世界的一切領域，即可謂宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無處不用數學。應用數學解決問題，不但首先要提出問題，並用明確的語言加以表述，而且要建立數學模型，還要對數學模型進行數學推導和論證，對數學結果進行檢驗和評價。也就是説，數學之應用，它不僅表現為一種工具，一種語言，而且是一種方法，是一種思維模式。根據數學應用的廣泛性特點，數學學法指導還要指導學生建立和操作數學模型，以及進行檢驗和評價。
三
從數學學習的角度出發，就是要通過對數學學習過程的考察，引申出數學學法指導的內容和策略。關於數學學習的過程，比較新穎的觀點是：“在原有行為結構與認知結構的基礎上，或是將環境對象納入其間（同化），或是因環境作用而引起原有結構的改變（順應），於是形成新的行為結構與認知結構，如此不斷往復，直到達成相對的適應性平衡”［5］。通過對這一認識的分析和理解，就數學學法指導而言，可概括出以下3點：
1．行為結構既是學習新知的目的和結果，又是學習新知的基礎，因而在數學教學中亦需注重外部行為結構形成的指導。由於這種外部行為主要包括外部實物操作和外部符號（主要是語言）活動，所以在數學學法指導中，一要重視學具的操作（可要求學生儘可能多地製作學具，操作學具）；二要重視學生的言語表達（給學生儘可能多地提供言語交流的機會，可以是教師與學生間的交流，也可以是學生與學生之間的交流）。
2．認知結構同樣既是學習新知的目的和結果，也是學習新知的基礎，故而數學教學要加強數學認知結構形成的指導。所謂數學認知結構，是指學生頭腦中的知識結構按自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構。因此，對於學生形成數學認知結構的指導，關鍵在於不斷地提高所呈現的數學知識和經驗的結構化程度。在數學學法指導中，須注意如下幾點：①加強數學知識間聯繫的教學。無論是新知識的引入和理解，還是鞏固和應用，尤其是知識的複習和整理，都要從知識間的聯繫出發。②重視數學思想的挖掘和滲透。由於數學思想是對數學的本質的認識，因而數學思想是數學知識結構建立的基礎。常見的數學思想有：符號思想、對應思想、數形結合思想、歸納思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重數學方法的明晰教學。數學方法作為解決問題的手段，是建立數學知識結構的橋樑。常見的數學方法有：化歸法、構造法、參數法、變換法、換元法、配方法、反證法、數學歸納法等。
3．在原有行為結構與認知結構的基礎上，無論是通過同化，還是通過順應來獲得新知，必須是在一種學習機制的作用下方能實現。而這種學習機
制主要就是對學習新知過程的監控和調節，即所謂的元學習。實質上，能否會學，關鍵就在於這種學習是否建立起來。於是，元學習的指導又成為數學方法指導的重要內容。為此，在數學學法指導中，需要注意：①要傳授程序性知識和情境性知識。程序性知識即是對數學活動方式的概括，如遇到一個數學證明題該先幹什麼，後幹什麼，再幹什麼，就是所謂的程序性知識。情境性知識即是對具體數學理論或技能的應用背景和條件的概括，如掌握換元法的具體步驟，獲得換元技能，懂得在什麼條件下應用換元法更有效，就是一種情境性知識。②儘可能讓學生了解影響數學學習（數學認知）的各種因素。比如，學習材料的呈現方式是文字的、字母的，還是圖形的；學習任務是計算、證明，還是解決問題，等等。這些學習材料和學習任務方面的因素，都對數學學習產生影響。③要充分揭示數學思維的過程。比如，揭示知識的形成過程、思路的產生過程、嘗試探索過程和偏差糾正過程。④幫助學生進行自我診斷，明確其自身數學學習的特徵。比如：有的學生擅長代數，而認知幾何較差；有的學生記憶力較強而理解力較弱；還有的學生口頭表達不如書面表達等。⑤指導學生對學習活動進行評價。如評價問題理解的正確性、學習計劃的可行性、解題程序的簡捷性、解題方法的有效性等諸多方面。⑥幫助學生形成自我監控的意識。如監控認知方向意識、認知過程意識和調節認知策略意識等等。
四
根據數學內容的性質，數學教學一般可分為概念教學、命題（主要有定理、公式、法則、性質）教學、例題教學、習題教學、總結與複習等5類。相應地，數學學法指導的實施亦需分別落實到這5類教學之中。這裏僅就例題教學中如何實施數學學法指導談談自己的認識。
1．根據學生的學情安排例題。如前所述，學習新知必須建立在已有的基礎之上，從內容上講，這個基礎既包括知識基礎，又包括認知水平和認知能力，還包括學習興趣、認知意識，乃至學習態度等有關學習動力系統方面的準備。因此，無論是選配例題，還是安排例題，都要考慮到學生的學習情況，尤其是要考慮激發學生認知興趣和認知需求的原則（稱之為動機原則）。在例題選配和安排中，可採取增、刪、調的策略，力求既突出重點，又符合學生的學情。所謂增，即根據學生的認知缺陷增補鋪墊性例題，或者為突破某個難點增加過渡性例題。所謂刪，即根據學生情況，刪去比較簡單的例題或要求過高的難題。所謂調，即根據學生的實際水平，將後面的例題調至前面先教，或者將前面的例題調到後面後教。
2．根據學習目標和任務精選例題。例題的作用是多方面的，最基本的莫過於理解知識，應用知識，鞏固知識；莫過於訓練數學技能，培養數學能力，發展數學觀念。為發揮例題的這些基本作用，就要根據學習目標和任務選配例題。具體的策略是：增、刪、並。這裏的增，即為突出某個知識點、某項數學技能、某種數學能力等重點內容而增補強化性例題，或者根據聯繫社會發展的需要，增加補充性例題。這裏的刪，即指刪去那些作用不大或者過時的例題。所謂並，即為突出某項內容把單元內前後的幾個例題合併為一個例題，或者為突出知識間的聯繫打破單元界限而把不同內容的例題綜合在一起。
3．根據解題的心理過程設計例題教學程序。按照波利亞的解題理論，一般把解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧等4個階段。這是針對解題過程本身而言的。但就解題教學來説，還應當增加一個步驟，也是首要環節，即要使學生“進入問題情境”，讓學生產生一種認知的需要。對於“進入問題情境”環節，要求教師用簡短的語言，在承上啟下中，提出學習目標，明確學習任務，激起認知衝突。而對其餘4個環節，教師的行為可按波利亞的“怎樣解題表”中的要求去構思。一般教師和學生都能夠注意做到做好前3個環節，卻容易忽視“回顧”環節。
嚴格説來，回顧環節對解題能力的提高，對例題教學目的的實現起着不可替代的作用。對回顧環節來講，除波利亞提出的幾條以外，更為主要的是對解題方法的概括和反思，並使其能遷移到其它問題的解決之中。
4．根據數學方法指導的目的和內容適度調整例題。通常，人們根據問題的條件（A）、解決的過程（B）及問題的結論（C）的情況把數學題劃分為標準題和非標準題兩大類：如果條件和結論都明確，學生也熟知解題過程（即A、B、C三要素全已知），這種題為標準題（記為ABC）；A、B、C三要素中缺少一個或兩個要素的題則為非標準題。如果分別用X、Y、Z表示對應於A、B、C的未知成分，則非標準題的題型（計6種）可表示為：ABZ，AYC，XBC，AYZ，XBZ，XYC。數學教材中的例題大多數是ABC型和ABZ型，有部分的AYC型和極少數的AYZ型。由於數學學法指導的一項重要任務是教學生會抽象、概括、歸納、演繹，會數學地思考和交流，會分析問題和解決問題，因而例題教學要特別注重教材中缺少的幾種類型題的教學。其中最為重要的是“開放性題”（ABZ型和AYZ型例題中，Z不唯一）和“數學問題解決”中所指出的“數學應用題”（AYC型及AYZ型中所涉及的主題是數學以外的內容）。對於“開放性題”，由於它的結論不唯一，對培養學生數學思維有着至關重要的作用。對於“數學應用題”，則由於它的解決要用數學模型法，因而對培養學生運用分析問題和解決問題的方法是十分重要的。從數學學法指導的角度來説，適度調整例題很有必要。調整的策略有二：一是改，即將已有的題型變換為別的題型；二是增，即增加與知識點有關的“開放性題”和“數學應用題”。
5．注重對例題的全方位反思。例題的作用是多方面的，除上文提到的幾點外，例題教學還具有傳授新知識，積累數學經驗，完善數學認知結構
數學中的分析法範文 篇二
分析是在思想中把事物的整體分解為部分，把複雜事物分解為簡單要素，把完整的過程分解到各個階段，並加以研究的思維方法。在數學中，分析就是從結果追溯到產生這一結果的原因的一種思維方法。例如，為了求多邊形的面積，我們可以把多邊形分解為若干個三角形，分別進行研究，又如，對於列方程解應用題這一完整過程，可以分解為設元、列方程、解方程、檢驗等四個階段分別予以考察，在數學解題中，分析是首先且大量要用到的一種思維方法，因為對於求知的整體事物，要使學生深刻地認識它、理解它，首先就得恰當地分解它、簡化它。具體地説，分析法是從數學題的特徵結論或要求出發，一步一步地探索下去，最後達到題設的已知條件。
例1:如圖，P是O外一點，PQ切O於Q,PAB和PCD是割線，∠PAC=∠BAD.求證：PQ■=PA■+AC·AD.
證法(分析法):由於易知PQ■=PA·PB
要證：PQ■=PA■+AC·AD
只需證：PA·PB= PA■+AC·AD
即證AC·AD= PA■-PA·PB
即AC·AD= PA(PA-PB)
又因PA-PB=AB
只需證AC·AD=PA·AB
即AC/PA=AB/AD
這就將問題轉化為證明PAC與ABD相似。
連接BD,因∠PAC是圓內接四邊形ABCD的一個外角，故∠PCA=∠ABD.
又∠PAC=∠BAD,故PAC∽DAB,由此命題得證。
綜合是在思想中把事物的各個部分、各個方面、各個要素、各個階段聯結為整體進行考察的思維方法，在數學中綜合就是從原因推導到由原因產生的結果的一種思維方法。例如，把正整數、零、負整數、正分數、負分數聯結起來考察，對有理數就能有一個完整的認識；把有理數和無理數聯結起來研究，則對實數就可以有更深刻的理解。綜合不是把事物的各個部分簡單地拼湊在一起，而是着重於找出其互相聯繫的規律性。具體地説，綜合法是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最後達到待證結論或需求問題。
例2:已知a , b ,c, d為正實數，且a■+b■+c■+d■=4abcd, 求證：a=b=c=d.
證明：(綜合法)
由 a■+b■+c■+d■=4abcd
得 a■+b■+c■+d■- 4abcd=0
從而轉化成 (a■-b■)■+(c■-d■)■+2a■b■+2c■d■-4abcd=0
即(a■-b■)■+(c■-d■)■+2(ab-cd)■=0
易知a■-b■=0 , c■-d■=0,ab-cd=0
又a,b,c,d為正數
故有a=b, c=d,ab=cd
數學分析 篇三
一、生活知識匱乏，關鍵信息抓不準
“讓數學從生活中來，回到生活中去”是新課程改革以來非常重要的一個理念，明確了數學的實用價值，因此，教師在數學教學中應當認真貫徹這一理念。但是，在實際的教學過程中，我們發現，由於學生生活知識的匱乏，往往不能理解相關的數學問題，不能抓準關鍵信息，許多簡單的數學實際問題，對於學生來説卻是困難重重。
例1：電子秤顯示0.725kg，單價是25元/kg，張師傅實付多少元？
正確解法：0.725×25=18.125≈18.13（元）
錯例分析：兩個班共有46位學生將結果寫成了18.125，佔總人數的64.7%，只有11位學生正確寫成18.13，佔總人數的15.5%，另有14位學生完全算錯。考查的知識點是結合生活實際“元、角、分”保留兩位小數，題目中“實付”兩字也提醒學生需要結合實際。產生錯誤的原因：一是平時教學中雖然強調過保留小數位數的方法，即“四捨五入”的方法，但是日常的練習題中多已明確告知學生需要保留的位數，不需學生自己判斷，而此題保留位數是隱含的信息，需要學生學會觀察和分析；二是生活知識缺乏，實際問題的分析能力偏弱，沒有抓住題目中的“實付”這一關鍵信息解決問題。
二、思考不深入，數學思維周密性不夠
數學思維是人腦對數學對象交互作用並按一般思維規律認識數學規律的過程。數學思維實質上是數學活動中的思維，它具有深刻性、廣闊性、靈活性、獨創性、敏捷性、批判性。由於國小生的思維以具體形象思維為主，並且主觀意識較強，所以，在數學思維上會出現思考不夠深入，思維不夠周密的問題。
例2：一個平行四邊形的高是10釐米，它的兩條邊長分別是8釐米和12釐米，這個平行四邊形的面積是多少？
錯例分析：兩個班共有38人發生錯誤，佔總人數的53.5%。發生錯誤的學生大多認為面積有兩種可能性，即為80平方釐米或者120平方釐米，原因在於認為題目中的高沒有説明具體對應的底，那麼兩條邊都可能作為平行四邊形的底。但是，若以12釐米這條邊為底，高為10釐米，斜邊為8釐米，這樣就不可能組成直角三角形，也就是説，上圖中左邊的所謂平行四邊形是不存在的。因此，這個平行四邊形的底只能選擇8釐米這條邊，面積為8×10=80平方釐米。這一錯誤的產生説明學生思維的周密性仍然不足，雖然考慮到了可能存在的兩種情況，但沒有進一步去推敲這兩種可能性是否一定存在。
三、數學的轉化與代換能力不足
隨着新課程改革的深入開展，新的教育理念、教學方式對學生的學習方式產生了巨大的影響，也對國小生數學能力的提高提出了新的要求。其中數學的轉化與代換能力尤為重要，學生在解決數學問題時，不但要抓住題目中的關鍵信息，還要學會分析題幹之間的聯繫，學會綜合考慮問題，找到“中間量”，通過等量代換或轉化的形式將複雜的數學問題分解成若干個簡單的數學問題。但顯然，從習題的錯例中不難看出學生數學轉化與代換的能力仍顯不足。
例3：
上圖中ABCD是邊長為10釐米的正方形， 三角形DOC的面積比三角形AOE的面積小8平方釐米，求陰影部分的面積。
正確解法：三角形ACD的面積為10×10÷2=50（平方釐米），根據等底等高的性質，三角形ACD和三角形CDE面積相等，三角形DOC是公共部分，所以三角形DOE和AOC面積相等，陰影部分的面積是50+8=58（平方釐米）。
錯例分析：該題兩個班錯誤的共有16人，佔總人數的22.5%。大多錯誤在於學生沒有找到三角形ACD和三角形CDE面積相等這一隱含信息，所以不會做。此題考查學生等積變形和麪積轉化的思想，其實在平時練習中也有過類似的題目，因此，學生對於圖形面積之間多幾與少幾的轉化方法並不陌生，只是這題需要先利用等積變換知道三角形ACD的面積等於三角形CDE的面積，再通過轉化和代換來求出陰影面積，比平時的練習多了一步等積變形，特別考驗學生的空間想象能力和數學思維中的轉化與代換能力。
四、審題不清，易上干擾信息的當
“審題”是解題的前提，是正確解題的關鍵之一，不認真審題就無法進行分析推理。所謂“審題”，就是弄清題目內容，弄清已經知道什麼，要求（求證）什麼。所以審題能力的高低，直接影響到學生的解題能力和數學學習的水平。國小生的注意力不夠穩定，並且處於學習習慣的養成時期，特別容易犯審題不清的錯誤，也容易受題目中無關信息的干擾。
例4：一瓶可樂售價2.50元，M老師買了K瓶，付了50元，可以找回（ ）元（用含有字母的式子表示），下面的數中，K可能是（ ）。
選項：①任何數 ②15 ③25
正確解法：找回（50-2.5K）元，K的範圍是0
錯例分析：這題兩個班中錯誤的有17人，佔總人數的24.0%。集中錯誤發生在學生將M老師當成M個老師去計算了，即（50-2.5KM）元，屬於審題不夠清晰，不能分辨信息的有效性。這題考查的知識點是用字母表示數，因為該知識點上新課時已經接觸過類似題型，變化的只是M老師這一干擾項； 而K的可能性範圍在課堂上的類似題型中也有過辨析，而本題會考查學生不僅要知道範圍，還得知道這個數只能是整數，其實是考慮了“生活中的數學元素”。因此，看學生錯誤的高發點，作為教師也需反思，我們在日常的教學中，尤其是在例題教學中，要特別重視培養學生的審題能力，使學生養成良好的審題習慣，開闊審題思路，讓學生掌握數學的審題步驟和方法，這樣才能提高學生的解題水平和解題技巧。
眾多的典型錯誤，折射出當前國小生數學學習與教學中的許多問題。產生的原因也有很多，其中包括學生的學習習慣、數學思維方法方面的原因，也包括課堂教學方面存在的不足。因此，筆者認為，應從學生的主體性着手，提高學生數學學習的素養，養成良好的數學學習習慣，在日常教學中有意識地進行數學思維方法的滲透，分層展開練習，分層差異評價，通過多方面的措施來提高學生數學學習的效率，激發學生的學習興趣，從而達到“輕負高質”的目標，最終促進學生的數學學習能力的提高。
數學分析 篇四
[關鍵詞] 國中數學；數學課程標準；數據分析觀念；數學素養
一、國中生培養數據分析觀念的意義
課程標準認為數據分析觀念主要指：在現實生活中處理問題時先做調查研究，收集到有用的數據，分析數據中藴含的信息並以此為依據做出判斷；掌握解決問題的多種方法，能根據問題或實際情況選出合適的方法；體驗數據分析中的隨機性，在足夠的數據中發現規律。[1] 也就是説在數據分析觀念的指導下，學生能夠用適當的統計分析方法對收集的大量數據進行分析，提取有用信息或形成結論，從而對數據加以研究和概括總結。觀念指導實踐，培養學生的數據分析觀念就是培養學生形成有效的問題解決策略，在數據中發現價值從而指導決策。數據分析觀念的形成需要學生經歷數據統計分析的全過程，包括調查研究，收集、整理、分析數據並做出預測和決策，再進行交流、評價與改進，進而形成對數據處理的思維。
二、國中生數據分析觀念現狀
課程標準將原來培養學生“統計觀念”的目標改成如今的培養學生“數據分析觀念”，是為了讓學生對數據有一個宏觀的把握並能利用數據分析觀念解決問題。而學生，甚至是一些教師，沒有意識到概念的轉變意味着學習方式和教學方式的轉變，仍然以升學考試各知識點的佔比作為學習的主體，為學習而學習，為升學考試而教。教師應該利用教材的系統性安排，為學生合理設計教學計劃，以培養學生的數學素養和數學能力為最終目的，唯此才能從根本上提高學生的數學學習能力。
學生的數據分析水平一定程度上反映了數據分析能力。據調查統計，[2] 不具備數據分析觀念的學生和能夠建立數據表徵但不明白目的和作用的學生佔調查的國中生一大半。教師因為過於注重對頻率和概率的概念性教學，使學生不能夠正確認識頻率與概率的關係，也不會從數據分析中找到規律。學生數據分析水平不高的原因主要是教師在教學中重計算、輕體驗，重講授、輕探究，重得分、輕能力，重結果、輕過程。[3]
三、課堂培養策略
1.提升學生興趣
培養學生的數據分析觀念，要讓學生主動參與課堂學習。教學中適當地使用情境教學法，將生活實際問題轉入數學知識的教學中，能夠激發學生的探究慾望，促進學生建構數學知識體系和遷移知識。情境的設置可以包括對天氣預報的準確程度進行預測、商場打折促銷活動的折扣程度，甚至是銀行存款利率變動的原因分析等，依據學生的知識掌握情況和課程進度向學生拋出與日常生活，與民生息息相關的事件，引發學生關注，學生在教師指導下認識到數據分析給解決這些問題帶來的便利。
隨着教學的深入，學習難度提升，教師情境教學方式要讓學生進入到對數據分析的體驗過程中，親歷數據的收集、整理、處理、分析和做出判斷，在體驗中形成數據分析意識，提升數據分析能力。例如，對“隨機事件”的教學，教師提出骰子拋擲後正面朝上的點數的可能性，先讓學生提出自己的觀點，然後教師給學生骰子讓學生分成若干小組自己嘗試拋擲10次、20次、30次甚至更多次並將每一次結果記錄下來。拋擲完骰子後，教師讓學生彙總數據並彙報6個面分別朝上的次數佔總次數的比例，接着將每個組得出的結果展現給學生，學生會發現結果不盡相同，彙總所有小組的結果後，不同點數分別朝上的佔比還是可能與所有小組都不一樣，由此引出隨機事件的概念。學生通過這一過程體驗到數據的收集、整理、處理過程，形成處理問題通過數據來做出判斷的意識。
2.掌握數據辨別能力
數據分析是個應用性較強的活動，日常生活中經常要運用到各種數據分析，但怎樣在眾多數據中提取有效信息為我所用，學生對此還很不清楚。因為不管學習還是做題時，經常是給出的數據都是有用數據，沒有其他數據摻和進來混淆對數據的分析活動，可現實生活中，同一個事件產生的數據不止一種。這就需要教師留意培養學生理智選擇數據進行分析的意識，對數據抱有質疑態度，才會深入數據的形成過程，理解每一組數據代表的信息。
例如，給出一組數據：65、72、60、65、88、90、70、65、65，假設是某班一次考試成績，教師向學生提問：如果要分析學生的整體水平，要怎樣利用這組數據呢？不少學生可能認為計算出所有成績的平均數就是這次考試的整體水平，而這個平均數約為71分。這時候教師可以讓學生思考：平均分71分和佔了全部數據的4/9的65分哪個更能代表這個班的總體水平呢？由此引入“眾數”的概念――一組數據中出現次數最多的數值，叫眾數，並且讓學生認識到，平均數與眾數都是對整體數據進行分析，但平均數是反映數據的總體平均水平，而眾數則反映數據的多數水平，雖然用以代表數據可靠性相對差一些，但它不受極端數據的影響，求法簡便，適用於大面積的普查研究或非數值型信息。通過這樣的教學設置，學生既學到了新的知識點，同時也掌握了在不同數據和問題中辨別數據、利用數據的能力，在面對數據時，能有意識地辨別、選擇有用數據。
3.強化分析能力
教學中教師經常花更多的精力讓學生讀圖作分析，忽略了讓學生知道並掌握這個圖表要在什麼訴求下形成，什麼情況下用別的圖表形式來呈現數據。而讓學生會選擇合適的方法分析數據，能更直觀地顯示數據分析結果，有助於提升判斷的準確性。教學中可以引導學生體驗在同種數據下各種圖表的產生和形成過程，比較數據分析方式的差異，找出最優數據分析方法，提升數據分析觀念。
通過讓學生對比各種類型圖表，學生會發現，柱狀圖比表格呈現稍微直觀一些，而折線圖比柱狀圖對波動的表現更為直觀。比較柱狀圖和折線圖，會發現柱狀圖較容易比較數據之間的差異，而折線圖在表示數量多少的同時，還可以反映同一事件在不同時間的變化情況。這種體驗分析，提高了學生辯證思考和分析問題的能力，學生能夠建立起在不同需求下分析處理數據的觀念，並知道如何選擇分析方法，然後依據數據的趨勢進行預測並給出合理建議。
4.課後鍛鍊策略
觀念的形成不能一蹴而就，數學思維能力需要在不斷的鍛鍊中獲得提升，使能力得到提高進而促進良好數據分析意識的形成，而良好的數據分析觀念能推動向應用能力的轉化。實際生活中有太多可以讓學生髮揮數據分析意識去解決的問題，教師對學生的課後作業可以不用侷限於教材教輔提出的練習，而是讓學生自主選擇一個主題，自己親歷提出問題，收集、篩選、分析數據並得出結論的過程。例如，對學生每天放學後從學校回到家的時間進行統計分析，調查身邊同學所喝礦泉水的品牌，看籃球賽時對不同隊員的投籃次數進行統計並分析等等。相比於埋頭在習題中，這些有趣的觀察記錄活動更能吸引學生的興趣，發揮主觀能動性去參與，也有利於培養學生全面、客觀、務實的數據分析意識。
參考文獻
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數學分析 篇五
關鍵詞：泛函分析；距離；極限；距離空間；向量
一、生活中的距離
生活中人們對距離概念的理解通常是來自所看見兩個物體的相對位置關係，也就是我們所説的遠近程度。在物理學中，距離是由某些媒介，如人、動物和交通工具所經過的路線的長度，由起點到終點的向量則是位移。在數學中，距離是一種標量，不具有方向，僅含量，這種量不會是負數。同時，距離也是泛函分析中最基本的概念之一，它所定義的距離空間連接了拓撲空間與賦範線性空間等其他空間，是學習泛函分析首要接觸的概念，也是定義在度量空間的一種函數。
下面我們主要從數學的角度來探究距離的概念。
對於一維、二維、三維空間中兩點間的距離，我們都非常熟悉，以三維空間為例，在三維歐式空間中，設其中的兩點分別為A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則兩點間的距離為
AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2。
這是對於我們現實生活中的距離，我們能借助勾股定理將兩點間的距離刻劃成線段來得到他們間的數量關係。同樣，對於n維線性空間上的距離，我們通過代數形式的類比，得出A，B兩點的距離表達式
AB=AB=OA-OB=∑ni=1xi-yi21/2。
從上述內容中可以看出，不論是R中的點還是Rn中的點，甚至任意集合中的點，只要在其中定義了距離，我們就可以用它來衡量兩點的接近程度。眾所周知，極限是分析數學學習的基礎，而距離又是極限定義的基礎，所以，下面我們首先來考察距離與極限的關係。
二、距離與極限的關係
首先我們給出數列極限的定義。
定義1：設為數列an，a為定數，如果對任給的正數ε，都存在正整數N，使得當n>N時有an-a<ε
則稱數列an收斂於a，定數a稱為數列an的極限，並記作
limn∞an=a，或anan∞
讀作“當n趨於無窮大時，an的極限等於a或an趨於a”。
從直觀上看，如果將數列看成實數軸上的一列點，任意兩點間的距離等於兩點差的絕對值，當n越來越大時，an與a的差越來越小（足夠小），也就是説an與a之間的距離越來越小。
由此可見，距離在極限的學習中起着至關重要的作用。
定義2：若fx在點x0的某領域內有定義，且limxx0fx=fx0，則稱f在點x0連續，x0稱為f的連續點。
用“ε-δ”語言即：若對任給的ε>0，存在δ>0，使得當x-x0<δ時有f（x）-f（x0）<ε， 則稱函數f在點x0上連續。
由此可見，在數列和一元函數的極限中，距離都可以用兩點間的差的絕對值表示出來，所以我們可以得出結論，極限和距離有着密切的關係，極限均可用距離來表示。一般n元函數極限的定義與一元函數的定義類似。
三、度量空間中的距離
定義3（度量空間定義）：設X是任意一個非空集合，x，y，z∈X，都有唯一確定的實數d（x，y）與之對應且滿足
1.（非負性）dx，y≥0，d（x，y）=0x=y;
2.（三點不等式）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）;
稱dx，y是x，y之間距離，稱X，d為度量空間（或距離空間）。
對於距離空間，我們舉幾個例子：
例1：對於點集Rn，對Rn中任意兩點x=（ξ1，ξ2，…，ξn），y=（η1，η2，…，ηn），規定d（x，y）=（∑ni=1ξi-ηi2）12，可以驗證，d（x，y） 滿足距離的定義要求，故Rn，d成為一個距離空間，即我們熟知的n維歐氏空間。
例2：l2表示滿足∑∞i=1xi2<+∞的實數列（即平方可和數列）xi的全體，在l2上定義：x=x1，…，xi，…∈l2，y=（y1，…，yi，…）∈l2，ρ（x，y）=∑∞i=1xi-yj212，可以驗證，ρ（x，y） 滿足距離的定義要求，從而（l2，ρ）為距離空間。此空間在處理無限維Hilbert空間理論時非常重要。
下面我們再給出幾種不常見到，但又具有重要意義的特殊距離。
四、幾個特殊距離定義
1、切比雪夫距離：數學上，切比雪夫距離（或是L∞度量是向量空間中的一種度量，二個點之間的距離定義為其各座標數值差的最大值。以x1，y1和x2，y2二點為例，其切比雪夫距離為max（x2-x1，y1-y2）。
若二個向量或二個點p 和 q，其座標分別為pi及qi，則兩者之間的切比雪夫距離定義如下：Dchebyshev（p，q）=maxi（pi-qi）
這也等於以下Lp度量的極值：limk∞（∑ni=1pi-qik）1k。
因此切比雪夫距離也稱為L∞度量。
以數學的觀點來看，切比雪夫距離是由一致範數（或稱√本站★√為上確界範數）所衍生的度量，也是超凸度量的一種。
2、偽雙曲距離
在複平面單位圓盤中，定義ρ（z，w）=z-w1-zw，z，w∈DT∈B（H），記T=（TT）12，設A，B∈BH，φAB=A-BI-AB-1，令d（A，B）為A，B間的偽雙曲距離。
3、Bergman距離：設z，w是Ω中的兩點，Ω 中連接z，w的光滑曲線全體記為Q，即Q=γ：0，1Ω是光滑曲線：γ0=z，γ1=w，定義z，w的Bergman距離β（z，w）=infrB：r∈〗Q ，βz，w=12log1+ρ（z，w）1-ρ（z，w）。
偽雙曲距離和Bergman距離在函數空間上算子理論研究中起着很重要的作用，在許多問題的討論中需要藉助於這兩種距離的各種酉不變性質。
此篇文章，我們從生活中的距離，引出數學中的距離，分析抽象中的距離，這使我們愈加清楚了距離概念的重要性，也會對我們今後對數學的學習產生更加深刻的領會。（作者單位：瀋陽師範大學數學與系統科學學院）
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數學分析 篇六
一、數學分析的重要作用
數學分析以及豐富的內容為數學教學提供了理論基礎，其在數學教學中的作用經得起驗證。並且是對數學能力、數學意識的客觀反映。在教學中，其作用重點體現為以下幾點：
(一)數學分析有助於培養學生的辯證唯物主義思想
數學分析以極限思想為核心內容，極限的定義利用“ε”語言實現了有限與無限兩個概念緊密相連，將事物由量變向質變轉變的過程轉化為數學語言。通過這一分析過程，學生自然的掌握了唯物主義理論，對其數學知識學習具有積極意義。
(二)數學分析有助於培養學生的數學應用意識
數學分析來源於實踐，在數學教材中，許多例子應用於數學分析理論。通過數學分析理論，學生具有較強的應用意識，豐富了其解題技巧，從而培養其自主學習和探究精神，與素質教育的精神相吻合。
(三)培養抽象意識、建立審美意識
數學分析的主導思想導數和定積分具有高度抽象特點。利用數學分析思想，使學生形成正確的審美觀念，培養其抽象意識。
通過概念、命題的形成過程而培養學生從本質看問題的習慣。而對於複雜事物或概念，數學分析可幫助學生學會由表及裏，分清主次的特點，為學生數學問題的解決提供了多樣化的、可行的方案。數學分析思想中的極限、微積分都具有抽象特點，有助於引導學生髮現數學中的美感，對數學產生好的印象，從而提高其對數學學習的興趣。
二、數學分析原理和方法在數學中的應用
(一)微分學原理、方法在數學中的應用
數學分析中的微分學原理對函數圖形的解讀具有積極意義。
函數圖形多采取描點法進行圖形繪製，這種方法在結果上存在一定的偏差。此時，利用數學分析的導數概念可正確判斷函數的凹凸性、單調性等特點，可精確計算出函數極值點和拐點。最後，通過極限法求出漸近線，從而得出函數草圖，再利用數學分析中的微積分思想就可以準確繪製函數圖形。
(二)積分法原理和方法在中學數學中的應用
積分包括不定積分和定積分兩部分。兩種積分形式雖具有一定差別，但實際上存在必然的聯繫。二者之間可以實現轉化，通常可將定積分轉化為不定積分問題，從而降低解題難度。因此，積分法原理充分利用了數學分析的精髓，將積分與定積分問題聯繫在一起，提供了專業的數學解題理論。其中，定積分可用於求解面積、體積以及弧長問題。大學階段，數學概念作為成型的理論出現，但並未進行詳細的推導。這樣對於一些概念的應用來説，學生理解起來較為困難，無法應用自如。而通過數學分析理論，有關公式的計算完全可利用積分或微積分精確地進行計算，並提供分析過程，使學生準確理解數學概念。總之，在數學教學中，數學分析為多種數學知識的計算提供了理論依據，為其分析提供了方向。
(三)提高能力，掌握數學思想與方法
數學分析內容豐富、理論知識紮實，並且包含了大量的數學思維。其應用有助於學生了解數學的本質，領會數學的內涵。因此，要將數學分析應用於數學教學中，需要教學人員提高教學能力，正確解讀數學分析教學指導思想。在數學分析思想中，數學中常用的數形結合法、待定係數法消元及配方等方法應用廣泛。從而使數學分析從思想與方法上對數學具有切實的指導意義。因此，其在數學教學中的應用具有可行性，且能夠促進數學解題思維的形成。當然，在數學分析應用過程中，數學教師的素質具有重要作用，在教學過程中，教師要善於總結與聯繫，將學生的舊知識體系與新知識教學聯繫在一起，使學生能夠正確認識數學教學與數學分析之間的關係，提高其學習熱情，從而促進數學教學的高效化和專業化。
總結
數學分析 篇七
一、學生分層
對於國小數學來説，進行分層教學必須按照順序逐步進行，首要的工作就是要對學生進行一定的分層。一般來説，可以將學生分為三類：第一類是學優生（A層），他們的邏輯思維能力和理解能力較強，基本上能夠當天學習當天消化，並且有效的掌握好知識，能夠靈活的運用；第二類是中等學生（B層），這部分學生的成績存在較大的浮動情況，如果稍微鬆懈，就會淪落到學困生的行列中，但是刻苦學習的話，短時間內就可以獲得較大的提升，加入學優生的行列；第三類就是學困生（C層），他們是班級的弱勢羣體，同時也是教師比較容易忽略的學生，由於學習成較差，而且並沒有特別出彩的地方，因此在學習數學的過程中，產生了很大的阻礙。按照這樣的標準進行分層，可以對之後的教學工作產生一定的積極影響。另一方面，由於層次為三個，因此在管理的時候，也能夠達到一個理想的效果。
二、教學目標分層
教學目標應考慮從低到高几個不同層次的目標，包括學生目前已達到的獨立發展水平、教學應達到的水平和學生的潛在水平，以促進學生不斷趨向自己的最近發展區，將潛在發展水平轉化為獨立發展水平。另外，不同層次之間的教學目標也可以相互轉化，當C層的學生或 B層的學生達到了所在層級的教學目標後，則應努力向上一層的教學目標努力。由此可見，在進行教學目標分層的時候，必須考慮到學生的自身情況以及未來的發展前景。重點要了解學生的優勢在哪些方面，比方説邏輯思維能力強的學生應該加強記憶方面的能力，而空間想象能力較強的學生應該加強思考的能力。值得注意的是，教師不能對學生有偏見，即使是學困生也存在一定的優勢，只是需要教師進行一定的啟發。分層教學的目的就是為了讓全班同學都有一個較大的提升，因此絕對不能忽略任何一個羣體。
三、教學過程分層
（一）全面考慮
在教學的過程中，教師雖然能夠意識到要照顧所有的學生，但由於應用傳統的教學方式進行了長期的教學，因此很多時候會不由自主地偏向學優生和中等生，導致忽略學困生的情況發生。在這種情況下，必須不斷的進行實踐鍛鍊，在實際的教學過程中強化各個環節的工作，避免發生忽視的情況。
（二）實例分析
在教學“求一個數（0除外）的倒數的方法”這一知識時，對C層的學生可以提出直接通過自學，總結出規律的要求；對B層的學生可先出示一系列的導學思考題，讓他們根據問題進行探討；對C層的學生則可以先出示求倒數的方法，然後讓他們去嘗試驗證。通過這種方式的教學，能夠讓每一個層面的學生在實際的學習中，最大化地吸收知識，而且會充分激發出他們的潛能。總體來説，在教學過程中進行分層，能讓學優生認識到自身的不足，從而獲得一定的深化；可以讓中等生認識到自己需要加強的環節與自身的優勢，在雙重作用下能夠快速的提升；而學困生在接受教學以後，可以打下一個較為堅實的基礎，並且為之後的學習產生較大的積極影響，同時還會樹立較強的自信心，在主觀上獲得較大的助力。
四、作業分層
國小數學教學分層的最大優勢在於，會對每一項教學工作進行分層，絲毫沒有遺漏。而且，相對於其它學科來説，數學的分層能夠更加明確，不會出現界限不清的情況。針對這個特點，我們可以在今後的工作中，對數學作業進行有效的分層，從學優生到學困生，根據每個層次學生的具體特點來進行佈置，從而強化他們在課堂上學習的知識。本文認為，教師在佈置作業時，要面向不同的學生體現層次性，不再是“一刀切”，而要給出不同層次的作業供學生選擇。在內容上可分為基礎知識題和技術能力題，佈置作業時應分別指定哪些題目必須完成、哪些題目可以選擇完成、哪些屬於較難的補充題，對不同層級的學生提出不同的要求。由此可見，作業分層對學生學習數學來説，是非常重要的，必須在今後的教學工作中，不斷的深化，從而對學生產生更大的積極影響。
五、評價分層
在分層教學中，評價分層是一個不可忽視的環節。分層評價是實施分層教學的保證，對不同層次的學生採取不同的評價標準，充分發揮評價的功能。分層評價主張“不用同一把尺子衡量學生”，堅持“有利於學生髮展的原則”。普通的評價會採用統一的標準，這樣只有學習好的同學佔有優勢，而且自信心越來越強；相反的，學習中等和較差的同學，由於總是達不到要求，因此會產生一定的沮喪心理，對數學的學習造成一定的消極影響。分層教學中的評價分層，可以根據學生的分層目標以及分層學習內容來進行評價，得到的結果是針對性的，並不是採用統一的標準，是根據層次標準來進行評價。每個學生都能得到應有的評價，避免了一些不良情況的產生。值得注意的是，評價分層必須結合實際的情況來進行，不能因為單純的要照顧學生心理，而進行片面的鼓勵，這樣反而會對學生產生一定的消極影響。
六、總結
本文對國小數學分層教學進行了一定的解析，從全國的大部分國小來看，在應用分層教學的時候，產生了很廣泛的積極影響，並且幫助眾多的學困生樹立了自信，數學的整體成績有了很大的提升。今後的工作重點在於將分層教學進行一定的細化，根據學生的實際情況找出重點工作，把所有難關全部攻克。
參考文獻：
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數學分析論文 篇八
歸納和演繹是一切科學研究常用的兩種思維方式，國小數學中是不自覺地運用過這兩種思維方法。例如，從一些特例歸納出運算律，然後用運算律指導運算，我們教師應努力挖掘這些因素，在能力上對學生進行有意的培養，而不停留在知識的傳授上，例如：“商不變的性質”“數的整除的特徵”“三角形三內角和等於180度”等一些基本概念、公式、方法中，都有一個不完全歸納的過程。如果簡單地把結論端出，就失去了培養思維能力的機會，如果引導學生自己去發現這些規律得出結論，那就會得到歸納能力的訓練。從特殊到一般的認識過程中有觀察、分析、概括、檢驗和表達等複雜心理活動。觀察有個由表及裏的過程，分析有個剔除個性、顯出共性的問題，概括有個抽象出事物本質屬性的能力問題，檢驗有個完善自己認識的習慣問題，最後歸納成某種結論，還有個語言表達的能力問題。因此，要引導學生真正從特例歸納出一個定理、法則是要一些時間和心思，與其花很多時間講題目，倒不如花點時間讓學生對知識發生過程作些必要的探索，因為這樣可培養學生的思維能力。
演繹在國小的應用主要形成是説理，例如：“三角形的面積公式，圓錐體的體積公式”是推理辦法解決的，雖然我們在講這些法則時還要藉助實例給以印證，但至少應滲透“從已有的正確判斷推出新的判斷”這種思想，又如：梯形的面積公式推導，都要貫徹説理精神，長此下去，才能培養出演繹推理的習慣。同時，在演繹推理訓練中又要穿插歸納法。
總之，要交叉地訓練這兩種能力，這恐怕是引導學生進入邏輯思維之門的台階。
2邏輯思維與直覺思維的能力
直覺思維是指沒有經過深思，迅速地對問題作出答案，作出合理的猜測或判斷的思維。或者説是在百思不得其解時突然領悟到的思維。直覺思維與邏輯思維不同，邏輯思維是經過一步一步分折，作出科學的結論；直覺思維是很快領悟到的一些猜想。國小生學數學，主要是使用直覺思維，例如：計算9+9+9+7+7學生會得出①(9+7)×3；②8×6這兩個乘法式，這不是簡單的模仿，而是直覺思維的成果。
我們在教學中，在注重培養學生邏輯思維的同時，要適當運用直覺思維思維方法進行教學，這對培養思維的敏捷性、靈活性和創造性有着重要的意義。這兩者的關係是：分析思維為主，滲透直覺思維，鼓勵思維簡縮，分析驗證跟上。
如教學“較簡單的求平均數應用題”，在學生認識了求平均數應用題的特徵，理解了“移多補少”的實質，掌握了“總數÷總份數＝平均數”關係後，解答“在一個魚塘裏，選擇五個不同的地方，測得水深分別是200釐米，150釐米、220釐米、250釐米、180釐米，求這個魚塘的平均水深”。讓學生列式後説出怎樣想的。他們説：“要求平均水深，就要知道測了幾次及測得水深的總和。”這反映了學生思維能力。教師再啟發學生運用“移多補少”的道理，觀察五個數的特點，直接地“看”出答案來，這就在邏輯思維的基礎上滲透了直覺思維的訓練。
教師又出示：“某校三年級有三個班，甲班40人，乙班比甲班多5人，丙班比甲班多7人，平均每班多少人？”讓學生想一想，能用幾種方法解答，哪一種最快。一個學生很快算出平均每班有44人，他們想法是：每班至少有40人，三個班還多出(5+7)人。12÷3=4（人）所以平均每班44人。通過討論比較，大家一致肯定這種解法比較簡捷合理，這説明經過培養，思維簡縮性有了提高。
教師再出示兩道選擇題：
(1)一輛汽車第一天運貨15噸，第二天運17噸，第三天上午9噸，下午7噸，平均每天運貨多少噸？
A：16噸B：12噸
(2)小金期末考試成績語文90分，數學89分，思品比語文少3分，自然比數學多5分，求四科的平均成績。
A：小於90分B：大於90分C：等於90分
要求學生有根據、有條理地説出選擇答案的理由，這樣，又運用邏輯思維對直覺的結論進行了論證。
3集中思維和擴散思維的能力
目前，許多心理學家認為，創造性思維有賴於擴散思維與集中思維的協調結合。集中思維是從一個背景出發，遵循一種常用的既定的思維渠道達到思維目標，它們幾何形態可描繪為從一點出發的一條射線。所謂擴散思維，即從同一背景出發，遵循儘可能多的新的不同的渠道達到思維目標，它的幾何形態可描繪為從一點出發的空間一束射線，前者表現為模仿、繼承，後者表現於外部行為，就表現為一個人的創造能力，它通常具有變通性、流暢性，創造性的特點，是創造性思維的基礎。例如：當問"1=？"時，一些學生回答：1+0=1、100-99=1、1×1=l、2÷2=1、5-4=1、5+3-7=1……等等。有的學生乾脆説：“寫不完”，“寫不完”就是流暢性的表現，能從各個方面用各種方式運算，是變通性的表現；對"1=？"的回答，各個學生各有其特點，是其獨創性的表現。
當然，強調發散思維的重要性，並不意味着可以將創造性思維與擴散思維簡單等同，也不能因此可以忽視集中思維。擴散思維是多向思考，提供多種可能性方案，但沒提供最佳方案，它還需要經過集中思維的分析篩選，尋找一種最佳方案。創造性地解決問題總是發散後集中，所以，我們要把發散思維訓練作為一項重要任務，自覺地納入日常的教學活動中。要根據班級實際引導思維發散、反對形式上的“活躍”而不紮實的發散，也要防止忽視集中思維。
一題多解、一題多變、一題多問等練習可培養學生髮散思維的能力。但這類練習要收到好的效果。必須做到適時擴散的能力。但這類練習要收到收的效果，必須做到適時擴散、適時收斂、適時引導、適時評價。
4正向思維與逆向思維的能力
世界上許多事物的運動形態都是雙向的，數學中的雙向思維比比皆是，運算與逆運算，分析與綜合等等。當人們習慣於正向思維時，某種逆向思維就會產生新的境界，許多發明創造就是這樣萌發的。如火箭沖天對氣球騰空來論，其原理是逆向的。在數學教學中也是這樣，當學生經過努力從正向理解了某個規定、公式、法則後，若適當引導學生逆向思考下，往往會跨進新的知識領域。例如學了加法後再學減法，學了乘法再學除法。我們教師在教學中通過已知條件和問題的可逆性變換來打開學生的思路，培養學生的逆向思維能力。
在教學中要重視運用變式的方法精心設計練習，防止思維刻板僵化。既應用正向思維的題目，也應有逆向思維的題目，把正逆思維交融在一起。如：
()÷7=6……5
57÷()=8……1