一、学习目标
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质.
2.通过抛物线方程的学习,进一步体会数形结合的思想,了解抛物线的简单应用.
二、学习重点、难点
重点:掌握抛物线的几何性质
难点:体会数形结合的思想
三、学习过程
知识点一:抛物线的几何性质
预习课本P134~137,思考并完成以下问题
(A级 3分)抛物线有哪些几何性质?
知识点 抛物线的简单几何性质
类型 | y2=2px(p>0) | y2=-2px(p>0) | x2=2py(p>0) | x2=-2py(p>0) | |
图象 | |||||
性质 | 焦点 | F,0 | |||
准线 | x=2 | ||||
范围 | x∈R,y≥0 | ||||
对称轴 | y轴 | ||||
顶点 | O(0,0) | ||||
离心率 | e=1 | ||||
开口方向 | 向左 | 向下 |
(A级 3分)在同一坐标系下试画出抛物线y2=x,y2=2x和y2=3x的图象,你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗?
题型一 抛物线方程及其几何性质
(A级 5分)【例1】已知抛物线y2=8x.求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、自变量x的范围.
(A级 5分)练习2.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是()
A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y
(B级 5分)练习3.边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是()
A.y2=6x B.y2=-3xC.y2=±6xD.y2=±3x
(A级 4分)【例4】已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,求抛物线的方程.
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组y2=2px解的个数,即二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的个数.
当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有个不同的公共点;
若Δ=0,直线与抛物线有 个公共点;
若Δ<0,直线与抛物线公共点.
当k=0时,直线与抛物线的轴平行或重合,此时直线与抛物线有个公共点.
题型二 直线与抛物线位置关系的判断
(B级 6分)【例5】已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.
题型三 中点弦问题
知识点 “中点弦”问题解题方法
(B级 4分)【例6】过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,求AB所在直线的方程.
知识点三 焦点弦问题及常用结论
1.焦点弦
直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,由抛物线的定义知,|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,故|AB|= .
2.已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则:
(1)y1y2=-p2,x1x2=4;
|AB|=x1+x2+p=sin2θ(θ为直线AB的倾斜角);
(3)S△ABO=2sin θ(θ为直线AB的倾斜角);
(4)|AF|+|BF|=p;
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
3.当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于2p.
题型四:抛物线常用结论的应用
(B级 4分)【例7】过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且A,B两点的纵坐标之积为-4,求抛物线C的方程.